中国科学院大学地球与行星科学学院
中国科学院计算地球动力学重点实验室
北京100049 中国
摘要
2003年SARS在我国的传播是流行病史上一次重大事件。北京累计SARS患者数目占全世界的30％，因此对北京SARS的传播动力学回顾分析、汲取教训，有助于更好地对当前武汉新型冠状病毒感染的肺炎防治工作。本文发展的流行病传播动力学的离散随机模型是研究初发新型流行病的有力工具。模拟结果表明，SARS之类的流行病虽然严重，但是是可以防控的。早期采取有效隔离措施降低传染率是防控的关键。一旦拖延失去最佳管控时机后，几天的延误就会造成流行病人数目的成倍增长，超过一个月仍没有明确认识和有效控制的话，往往疫情会加速爆发，以致于极大的提高防控成本，严重危害人民生命健康，造成巨大的社会影响和经济损失。模拟也表明，流行病早期随机不确定因素影响格外突出，实际工作中，必须按最坏的可能性做好充分准备，杜绝侥幸心理。武汉新型冠状病毒感染的肺炎比2003年北京SARS发展期的传染率高6倍左右，形势严峻。本文对现有措施如果得到有效落实武汉疫情前景进行了估测。利用本文发展的离散随机模型，持续跟踪、渐近分析，有助于疫情防控对策确定和提高对未来趋势预测的准确性。
关键词：SARS，武汉新型冠状病毒感染的肺炎，流行病传播动力学，离散变量随机模型
序言
近一二十年来，冠状病毒流行病事件造成了严重的人员伤亡及社会损失，例如，SARS，MERS等。目前武汉新型冠状病毒感染的肺炎的演化趋势，也是政府、公众及学界的关注点，有必要加强此类传染病的传播动力学研究。中国是2003年SARS感染的重灾区，而北京是当时中国受灾最严重的城市。据报道，从2003年3月1日到5月23日，北京累计有2521名被辨认的SARS患者。在全世界8437名SARS患者中占了30％（图一）。因此对北京案例的分析十分重要。有助于彻底杜绝武汉新型冠状病毒感染的肺炎在国内其他城市重蹈覆辙的可能性。
在流行病传播动力学的研究中，经常采用微分方程描述的确定性数学模型[1-3]，这在研究病人人数很多的大规模流行病时是一种简单有效的办法。但是，对于SARS之类的疾病，被感染的患者初期仅仅几十人或几百人（到疫情结束时也仅仅数千人受感染）。这时采用连续变量和确定性模型则难以反映实际情况。离散变量的随机模型可能更适合此类问题。概率模型得到越来越多的应用[4、5]，Riley et al. [6] 在讨论香港SARS传播动力学模型时就采用了随机模型，笔者在2003年提出了离散变量随机模型[7]。
确定性模型和概率模型的差别可以通俗的说明如下：在确定性模型中，如果一个病人在发病期中一定、且只能传染一个病人，那么疫病将一个传一个地无限传下去，病人数目既不会增长、也不会消失。在概率模型中，一个病人传染几个病人是随机的，但遵从一定概率分布规律和有一定的平均值。如果这种随机分布是遵从泊松分布的话，即使一个病人平均也是感染一个新病人，但在实际过程中，有0.3679的概率传染0个人，即传染链就断掉了，疫情结束；也有0.3679的概率传染1个人，疫情持续；还有0.1839的概率传染给2个人、0.0613的概率传染给3个人，……疫情扩大。甚至有0.0001的概率传染7个人，在概率模型中所谓超级传播者已经自然地包含在模型传播机理中，是传染过程中一种自然会发生的小概率率事件。在疫病初发阶段，会有许多可能性，绝不是一个确定性的过程。我们的离散变量概率模型一次模拟可以展现一种可能的过程，但不会恰好是真实地过程。但是，我们可以模拟1000种、10000种符合疫情传播地平均规律的可能情况，这大量试验的平均结果，应该接近实际可能出现的状况。
本文将讨论将该模型用于2004年北京SARS传播动力学的结果的分析，以及讨论从该模拟得到的认识对目前武汉新型冠状病毒感染的肺炎防治的启示。
图一、 2003年SARS期间世界主要疫区每日发病人数图。深红色为广州、绿色为香港、粉红色为北京、蓝色为台湾、淡蓝色为新加坡。
模型
本文提出一种基于对每一个病人传染链追踪的SARS传播动力学离散随机模型[7]，通过它了解在特定区域内的流行病随时间演变的过程、特点和控制因素。从首个病人被感染开始，我们逐日模拟其传染情况的演变。每个病人演变过程有几个时间节点：被感染时间、度过潜伏期发病和具备传染力的时间、患病后是否被隔离及开始被隔离监护的时间、度过传染期痊愈（或死亡）的时间。每个患者的这些时间节点都根据流行病实际的平均潜伏期、感染期、死亡率等参量和各自的概率分布特征在数学模型中随机确定。模型根据不同时间段和不同状况病人的传染率，计算从首个（或首批）病人出现后，如何随机感染几个新病人，每个新病人又会在何时发病和继续随机传染给哪些其他病人，形成传染链。模型逐日追踪模拟，记载每一个病人的状态，形成对整个流行病期间逐日演变的全过程的一次完整模拟。
模型中的主要参量为：潜伏期L、传染率r，传染期τ，和死亡率d。在有些研究大规模长期传染病模型中还需要知道区域内人群总数目、痊愈病人是否有免疫性及多长时间免疫性等参数，但在本模型研究大城市中仅数千病人和仅持续几个月时间的模型中，尚无需这类参数。四个参数中最重要的是传染率r，即每个病人每天平均传染的病人数，传染率乘以传染期天数τ，得到每个病人发病期间平均传染多少个人R (R = r Xτ)。一般来说，如果R>1，则流行病会发展；如果R<1，则流行病会逐渐终止。影响传染率的因素很多。有自然的因素：例如自然环境气温、湿度、日射等[8、9]；有病人相关的因素，包括可能出现的超级传染者[10、11]；即使同一病人在发病不同阶段症状不同时传染率也不同[10]。也有人文社会的因素：例如学校、医院、影剧院、电梯等环境下传染率会较高，政府管理采取的不同成本的隔离防治措施强度等。自然的因素人们无法改变，控制疫情传播的主要措施还是在合理的成本下，采取尽可能有效降低传染率的人为措施。
模型的详细介绍请参见文献[7]。只要知道了特定流行病的潜伏期、传染期和当时的传染率，在一个地区，以输入第一个被野生动物感染发病（或若干天内分别从其他地区输入一个到几个）病人为起始，就可以逐日模拟流行病的传播发展。如果知道在疫情发展不同阶段由于自然和人为原因造成的传染率变化，就可以模拟流行病发展全过程，得到一个随机个例。这样的一个结果还不能描述流行病发展的全部可能特征，因此要在同样模型参数下，计算大量随机模型（例如1000个），从它们可以得到平均结果和具体个例距平均结果的偏差。大量随机结果的统计，可以在得到全部染病人数平均值同时，也了解可能的最大和最小的染病总人数；在得到疫情最可能的持续日期同时，也得到可能最短的和最长的持续日期。这样有助于人们对前景最好和最坏的情况有所估计和制定对策。模型的另一个优点是可以在疫情仍在持续发展的过程中，根据采取防治措施后的新的传染率，计算预测疫情下一步的可能发展。
本研究的数据采用当时中国政府卫生部发布的数据，包括2003年4月21日以来SARS患者确诊和可能病例的每日报告。4月21日以前没有SARS患者每日增加数量的数据。仅知道北京首次发现SARS病人的日期为2003年3月1日，到4月20日北京地区SARS的患者累计为339人（后来的报告中更正为344人）。数据（特别早期的数据）的完备和正确性问题，是人们关心的问题，但是考虑到它们对本文主要结论没有实质性的影响，因此本文对此不作讨论。
结果
为了拟合北京地区SARS疫情发展的实际资料（图二），在潜伏期取值6.5天[12、13]、传染期取值14天[14]的条件下，通过试错法，得到了适合描述北京SARS全过程的传染率在不同阶段的变化（表一）。据此计算的典型结果如图三所示。图三（a）是光滑过的北京实际疫情图，以便于作为模拟标胶的基准。实际疫情持续83日，累计病人2521人。（b）是MonteCarlo试验1000个模拟结果中的一个典型个例，（c）是1000个模型的平均结果。全部模型持续时间比较集中，在80-130天范围内，平均值约100±6.3天。而1000个模型累计病人数目会有很大 波动，最少的个例仅有400多人，最多的个例可达8900多人，平均值在2558±988人。这反映出SARS这类初期感染人数不多的疫情发展过程中，偶然性事件会造成十分突出的影响。
图二、北京2003年从发现第一例病人起，每天新增病人数柱状图。第50天前没有每日新增病人数资料，累计发病病人339人，估值为黄色分布。
表一、为拟合实际观测数据模型在北京SARS疫期不同时段采用的传染率
图三、北京每日新增病人人数柱状图。（a）实际资料光滑化后的图像，作为模拟拟合的基准。（b）按表一参数Monte Carlo方法随机产生的1000个结果中的一个典型个例。（c）1000个随机模型的平均图像。
讨论
传染率是影响传播的最关键量。2003年SARS疫情初期，北京每个病人每天自然传染率r = 0.14。在我们计算的其余地区中，r在初期的平均值，广州为 0.19，香港为 0.31，新加坡为0.20，越南为0.18，他们的传染率均高于北京，但是这些城市采取预防措施均比较早，例如越南第一个病人住院后就采取了隔离措施，因此疫情仅持续45天，累计63人患病。新加坡在首批病人输入后，在三个星期后采取严格措施，疫情持续69天，累计238人患病。所以早期采取严格有效的控制措施是防止流行病扩散的关键。
我们进一步的数值模拟实验更清楚地说明了这一点。图四是假定北京市如果改变采取严格管控措施的时间，延后7天、提前7天和提前15天的可能情况的比较。计算中认为采取措施后使传染率减少的效果与现在相同（即表一中第二列以后的各列r值均分别延后7天、提前7天和提前15天）。计算结果表明，如果再拖延7天才严格管控，结果总感染人数会从基准的2558人增加到5857人，仅仅7天的拖延会造成病人总数增加130%。反之提前7天采取同样措施，则总感染人数可减少56%为1130人。如果提前15天，即在第一个病人发现后35天采取同样措施，则总感染人数可减少83%至仅仅434人。
图四、SARS在北京发生后，在不同时间采取有效隔离管控措施的模拟实验结果。红色为模拟实际情况的平均结果。第一个病人出现后50天采取严格管控，总感染人数达2558人。蓝色为如果再推迟7天才采取严格管控，平均总感染人数会达到5857人，峰值日增新病人约为249人。绿色为提前7天采取同样措施，则总感染人数可减为1130人，峰值日增病人数会减少到约55人。如果提前15天采取同样措施，则总感染人数可减为仅仅434人，峰值日增病人数会减少到24人。
我们也研究了模型中其他参数的影响（表二）。潜伏期如果从6.5天减少1天造成疫情加重，增加1天造成疫情减轻，相当于传染率r变化10%左右。其原因是，潜伏期减少使得被感染的病人更快地造成下一代感染，加速了链式传播地过程；反之亦然。传染期如果从14天减少为10天，会造成疫情减轻，增加为20天则使疫情加重，相当于传染率r 变化6%。如果每个病人具有传染性的日期都增长，自然增加了感染传播地风险。这些说明，在新的流行病发生得早期及时获取可靠地资料、估计出流行病地潜伏期和传染期，对疫情发展趋势估计判断是相当重要的。
表二、 潜伏期和感染期长短对流行病发展的影响
本文采用的离散变量随机模型，可以适应在新型流行病突发初期，在只有几十个病人的时候，就对疫病的发展趋势和变化起伏的可能性和不确定性进行细致地研究，并能跟踪疫情发展、评估防控措施效果，是一种成功的模型。
启示
流行病防治涉及许多方面，这里仅就流行病传播模型定量研究得到的认识，提出一些对目前武汉新型冠状病毒感染的肺炎的防疫工作的启示。
模拟和实践都表明，有效隔离病人切断感染路径是防控流行病的关键，而及早采取有效的严格管控隔离措施是防止疫情扩散的关键中的关键。对于北京的情况，五、六天的差别，可以造成染病总人数的加倍或减半。而且越早管控，措施会相对简单易于执行、社会成本低，事半功倍。越拖延，灾情可能指数般爆增，对人们生命健康造成的损害急剧增大，造成恶劣的社会影响和巨大的经济损失。应该以“疫情如火情、疫区如战场”的心态来面对疫情。
疫情初期有许多随机性和不确定性事件，而防控工作，必须立足于准备着最坏的可能性，不能有侥幸心理。在未确定疫情是否会人传人时，不能消极等待答案，要按如果存在人传人做好预案和开展必要的准备工作。在未确定是否有超期传播者时，要按可能出现超级感染者做好准备，特别做好医务人员的防护。模拟已经清楚的展示，初期几天的延误造成的损失，以后要用巨大的代价才能弥补。
疫情在发展，准确完备的掌握疫情发展是部署防控工作的一个关键。应该有权威部门每日公布各地新增病人数目，并尽量设法明确及感染来源是本地还是传入，要分析采取的措施有效程度和它们对降低传染率的效用，不断改进措施进一步隔离病人和有效地降低传染率。
武汉新型冠状病毒感染的肺炎据武汉市报导是从12月12日出现第一病例，但也有研究者认为12月1日出现第一个病例，12月10日出现后续病例[15]。到1月23日，距12月12日44天已经有830人感染，超过了北京同期SARS感染的规模，明显传染率更高。由于缺乏武汉新型冠状病毒感染的肺炎的资料，无法进行定量模拟。但如果假定这种肺炎潜伏期和传染期与SARS类似，则初步模拟表明其传染性比SARS高约6倍。而且正值春节人口大流动时段，500万人离开武汉，更增加了隔离的难度。所幸这次新型冠状病毒感染的肺炎死亡率低于SARS，武汉市和全国已经开始采取了严格管控措施，只要重视问题和采取得当措施，疫情是可以控制的。
北京在传播50天后开始极端严格的控制，据我们计算，传染率r在30天内迅速下降，达到0.002。采取措施后约10天发病人数达到峰值，峰值日新增病人数达到150人，疫情在峰值后40天结束。新加坡在首例20天后采取十分严格的措施，传染率在30天内下降到0.003，采取紧急措施后约15天每日新增病人数达到峰值，峰值日增病人数达12人，峰值31天后疫情结束。香港的传染率在加强措施后逐渐在50天内起伏下降到0.01，在日发病人数峰值115人，峰值后44天疫情结束。虽然初步模拟表明新型肺炎传染性比SARS高约6倍，但如果采取的严格措施能够有效的条件下，参考上述一些城市SRAS实例估计，仍然对大趋势可以有所估计。虽然1月23日起湖北和武汉开始采取严格措施，但措施到位要有几天过程，而且前期潜伏的病人还会继续发病，因此在半个月左右时间内，每天发病人数仍可能增加和维持在高位，估计武汉及周边地区有可能在2月10日以前到达峰值，峰值后再有一个半月左右时间（3月下旬）疫情可能基本结束。但存在一些复杂因素：例如这次疫情的自然传染率大大高于SARS，目前疫情扩展的地区和感染的病人总数都更大，武汉在严格管制前已经有五百万人口离开武汉流出到全国各地，而春节后又面临全国大规模人员流动的压力，因此杜绝管控的疏忽漏洞更困难；目前武汉新型冠状病毒感染的肺炎认识仍然有限，特别具有传染性的隐性感染病人有多大比率和是否实现管控、目前确诊病人数目统计是否及时完备等，这些对于隔离管控和开展模拟研究和疫期趋势预测影响极大。要在了解武汉新型冠状病毒感染的肺炎的传染动力学特征的基础上随时跟踪和模拟，要像在战场上随时掌握敌情应变部署一样，调整措施增强隔离效果，才能促进疫情缓解和对趋势做出更准确的推测。
结论
我们的流行病传播动力学的离散变量随机模型是研究初发新型流行病的有力工具。在病人只有几十个人难以用连续变量和微分方程解析，在面对少量病人、随机不确定性影响突出而难以用确定性模型模拟时，离散变量随机模型提供了可以实时跟踪疫情进行分析的定量手段。
SARS之类的流行病虽然严重，但是是可以防控的。离散变量随机模型的模拟表明，降低传染率是防控的关键，对病人有效隔离是降低传染率的有效措施。
早期采取有效隔离措施是流行病防控中关键中的关键。模拟和实践均表明，早期控制成本低、成效显著、事半功倍。反之，一旦托延失去最佳管控时机后，几天的延误会造成流行病人数目的成倍增长，超过一个月仍没有明确认识和有效控制的话，往往疫情会加速爆发式发展，以致于严重危害人民生命安全和健康，极大的提高防控成本，造成巨大的社会影响和经济损失。今后应该制度性规定，在首例异常病例发生的三、四周内，对新发疫情有尽量完备准确的掌握，并有应对预案、有物质、人力、科普宣称和动员群众的正确舆论准备。
模拟也表明，流行病早期随机不确定因素影响格外突出，例如同样参数下、北京SARS疫情模拟中随机产生的不同模型结果可以有很大差异，极端模型的累计病人数目可以相差20倍。因此在实际工作中，必须按最坏的可能性做好充分准备，争取最好的结果，决不能有任何侥幸心理。应该以“疫情如火情、疫区如战场”的心态来面对疫情，不能有丝毫的拖延和懈怠。在疫情分析上，可以利用本文发展的随机模型，持续跟踪、渐近分析，这样才能提高对未来趋势预测的准确性，以及及时调整防控措施，争取以较小的成本获取较大的效益。
致谢
本研究得到国家自然科学基金主任项目40344007的资助。感谢倪四道、张怀、刘翠、景慧敏、乔小娟、朱伯靖等对初稿提出的修改建议。
石耀霖：中国科学院大学地球物理学教授，中国科学院院士，发展中国家科学院院士，从事地球物理、地震、地球动力学研究。曾任中国地球物理学会副理事长，中国地震学会副理事长，第十届全国政协委员，第十一届全国政协常委。
参考文献
Analysis of Transmission Dynamics of SARS in Beijing in 2003 -
Enlightenment on prevention of epidermic pneumonia caused by the novel coronavirus (2019-nCoV)
SHI Yaolin
University of Chinese Academy of Sciences
Labaratory of Computational Geodynamics of Chinese Academy of Sciences
Beijing China
Abstract
The spread of SARS in China in 2003 was a major event in the history of epidemics. The cumulative number of SARS patients in Beijing accounts for 30% of the world's total. Therefore, a retrospective analysis of the SARS transmission dynamics in Beijing and lessons learned will help to better prevent and control the current epidermic pneumonia caused by the novel coronavirus (2019-nCoV) in Wuhan. A discrete variable stochastic model of epidemic transmission dynamics developed in this paper is a powerful tool for studying emerging new epidemics. Simulation results show that although epidemics such as SARS are serious, they can be prevented and controlled. Taking effective quarantine measures early to reduce the infection rate is the key to prevention and control. Once the best opportunity is missed, the delay of a few days will result in the number of epidemic patients to increase exponentially. If there is no clear understanding and effective control for more than a month, the epidemic will often accelerate outbreaks, which will greatly increase control Costs, seriously endanger people's lives and health, and cause huge social impacts and economic losses. The simulation also shows that the random uncertain factors in the early stage of the epidemic have a particularly prominent influence. People must make full preparations for the worst possibility and fight for the best results. Wuhan's new coronavirus-infected pneumonia has an infectious rate at developing period about 6 times higher than that of SARS in Beijing in 2003, making the present situation bery difficult. This article make some estimates on the prospects of the Wuhan epidemic if the existing measures are effectively implemented. Using the stochastic model developed in this paper, continuous tracking and asymptotic analysis can help evatulate the epidemic prevention countermeasures and improve the accuracy of forecasting of future trends.
Key words: SARS, pneumonitis infected by new coronavirus in Wuhan, epidemic transmission dynamics, discrete stochastic model
